spiegeln an der x-Achse

Notwendiges und hinreichendes Kriterium

blau: Funktionskurve

grün: Kurve der 2. Ableitung

Links-Rechts-Unterscheidung

lila: Kurve der 3. Ableitung

notwendig: Eine Wendestelle kann nur dort sein, wo die 2. Ableitung eine Nullstelle hat.

hinreichend: Eine Wendestelle  m u s s  vorliegen, wo die 2. Ableitung eine Nullstelle hat und die 3. Ableitung ungleich 0 ist.

f ''(-2)= 0 und 
f '''(-2) = 0: 
???

In Frage kommen also hier nur die Stellen x_1= -2, x_2= 4 und x_3= 10.

Tatsächlich liegen aber nur bei x_0= -2 und x_1= 4 Wendestellen vor. 
x_3= 10 ist eine keine besondere Stelle.

f ''(4)= 0 und 
f '''(4) < 0: 
L/R-Wdp.

f ''(-2)= 0 und 
f '''(-2) = 0: 
???

f ''(10)= 0 und 
f '''(10) = 0: 
???

f ''(10)= 0 und 
f '''(10) = 0: ???

f ''(4)= 0 und
f '''(4) > 0:
R/L-Wdp.

Tatsächlich liegt in diesem Beispiel aber auch bei x_1= -2 eine Wendestelle vor,
obwohl die 2. Ableitung  u n d  die 3. Ableitung den Wert 0 haben.

für Wendestellen

(haj v 1.0)

notwendig

hinreichend

Das 'notwendige Kriterium' liefert also alle Verdächtigen, aber evtl. auch Unschuldige.

Das 'hinreichende Kriterium' liefert nur Schuldige, aber evtl. nicht alle.

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h = Integral((x / 2)^(7) / 50 - 21 / 100 (x / 2)^(6) + 210 / 625 (x / 2)^(5) + 7 / 4 (x / 2)^(4) - 63 / 50 (x / 2)^(3) - 147 / 20 (x / 2)^(2) - 7 x / 2 - 10)
a = false
f = If(a, -h(x), h(x))
f1 = Derivative(f)
f2 = Derivative(f1)
P: (10, f(10))
ss = Segment((x(P), 0), P)
b = false
f3 = Derivative(f2)
W_2: (4, f(4))
W_1: (-2, f(-2))
s0 = Segment((x(W_1), 0), W_1)
s1 = Segment((x(W_2), 0), W_2)
c = false
d = false
X1: (x(W_1), 0)
X2: (x(W_2), 0)
X3: (x(P), 0)