Schwerpunktsatz im Dreieck - vektoriell

Betrachte A als Ursprung und benenne die Verbindungsvektoren b von A nach C, c von A nach B und a von B nach C.
(Leider lässt dieses Programm für die Vektoren keine Pfeilschreibweise zu.)

Von A nach M_a gelangt man z.B. über B: einmal c plus die Hälfte von a:  m_a = c + 1/2*a.

a selbst ist aber (von B nach C über A:) minus c plus b: a = -c+b.

a eingesetzt in die obere Gleichung ergibt:  m_a= c + 1/2*(-c+b) = 1/2*b + 1/2*c.

1. Gesucht: Seitenhalbierende s_A durch A. Dazu: Mittelpunkt M_a zwischen B und C.

2. Seitenhalbierende s_B durch B: Dazu: Mittelpunkt M_b zwischen A und C.

Von B nach M_b gelangt man z.B. über A:  m_b= -c + 1/2*b

Damit gewinnen wir als Geradengleichung für s_A
(Stützvektor 0, da wir A als Ursprung nehmen, Richtungsvektor m_a):  
x = r*(1/2*b + 1/2*c), r aus R.

3. Gleichsetzen der beiden Geradengleichungen führt zum Schnittpunkt S:

Damit gewinnen wir als Geradengleichung für s_B 
(Stützvektor c, Richtungsvektor m_b):
x = c + t*m_b = c + t(-c+1/2*b) , t aus R.

r*(1/2*b + 1/2*c) = c + t*( -c + 1/2*b)
1/2*r*b + 1/2*r*c = (1-t)*c + 1/2*t*b. 

Nun bringen wir alles auf eine Seite und klammern die Vektoren aus:
(1/2*r - 1/2*t)*b + (1/2*r - 1 + t)*c = 0. 

Da wir ein echtes Dreieck vorausgesetzt haben, müssen b und c linear unabhängig sein.
Folglich liefert nur die triviale Linearkombination den Nullvektor,
und also müssen die beiden Faktoren vor den Vektoren beide 0 sein:

1/2*r - 1/2*t = 0   und   1/2*r - 1 + t = 0.
Also:
    r  = t    und (r=t in die 2. Gleichung eingesetzt:) 1/2*t - 1 + t = 0.
    r  = t    und  3/2*t = 1
Ergebnis: r  =  t  = 2/3.

4. r=2/3 heißt, dass es von A nach S 2/3 des Weges von A nach M_a ist,
    und t= 2/3 bedeutet, dass es von B nach S 2/3 des Weges von B nach M_b ist.

(Für die dritte Seitenhalbierende s_C läuft der Nachweis analog.)

Folglich teilt der Schwerpunkt die Seitenhalbierenden im Verhältnis 2/3 : 1/3  =  2 : 1.

Spiel mit dem Geraden-Parameter hier möglich...

Hier den Schritte-Regler ziehen... !

Gegeben ein 'echtes' Dreieck ABC. ('echt': A, B, C liegen nicht auf einer Geraden.)

A = (0, 0)
C = (8, 5)
B = (10, 0)
c = Vector(A, B)
b = Vector(A, C)
poly1, c_1, a_1, b_1 = Polygon(A, B, C)
a = Vector(B, C)
M_a: c + 1 / 2 a
mf_a = Vector(A, M_a)
P_a: 1.1 mf_a
s_a = Segment(A, P_a)
Schritte = 0 (slider from 0 to 17, step 1)
cf = Vector(A, B)
ahf = Vector(B, M_a)
af = Vector(B, C)
cmf = Vector(B, A)
bf = Vector(A, C)
m_a = Vector(A, M_a)
r = 0.5 (slider from -0.2 to 1.2, step 0.05)
mr_a: r m_a
M_b: 1 / 2 b
mf_b = Vector(B, M_b)
P_b: B + 1.2 mf_b
s_B = Segment(B, P_b)
t = 0.5 (slider from -0.2 to 1.3, step 0.05)
bhf = Vector(A, M_b)
os_b: c + t mf_b
Q_b: B + t mf_b
mt_b = Vector(B, Q_b)
S = Intersect(s_B, s_a)
sf_a = Vector(A, S)
sf_b = Vector(B, S)
CS = Vector(C, S)
P_c: C + 2 CS
s_C = Segment(C, P_c)
M_c = Intersect(s_C, c_1)