f stetig an der Stelle x_o?

Hauptsatz der Diff.-und-Integralrechnung (Beweisidee)

untersuche: Ableitbarkeit der Flächeninhaltsfunktion

Besitzt der folgende Differenzenquotient einen Grenzwert für h -> 0 ?

Wähle a (ab wo die Flächeninhaltsfunktion J_a den Flächeninhalt misst)

... und b = x_o (die Stelle, wo J_a auf Differenzierbarkeit untersucht wird)

 \frac{ J_a(x_o\; +\; h) \;  -\;  J_a(x_o) }{h }\; \;

Diese Fläche soll nun durch ein kleineres und durch ein größeres Rechteck abgeschätzt werden.

sowie das Rechteck, das von y= 0 bis zum maximalen Funktionswert M im gleichen Intervall reicht.

Offensichtlich laufen, falls f in x_o stetig ist, die Werte von m und M zur selben Zahl, nämlich y_o= f(x_o), zusammen (siehe y-Achse).

Also existiert (unter der Voraussetzung, dass f stetig ist), der Grenzwert des Differenzenquotienten und ist gleich f(x_o): 

lim_{h→ 0} \;  \frac{ J_a(x_o\; +\; h) \;  -\;  J_a(x_o) }{h }\; \; =  \;  \; J_a ' \; (x_o) \;  \; =  \; f(x_o) \;\;\;\;\; Die\; Ableitung\; existiert\; also\; und\; ist\; gleich\; dem\; Wert\; von\; f.

Schalte nun die Bedingung `f stetig in x_0´ aus!

Offensichtlich laufen, falls f in x_o   n i c h t   stetig ist, die Werte von m und M   n i c h t  zur selben Zahl zusammen (siehe y-Achse).

Also ist unter dieser Voraussetzung auch die Existenz eines Grenzwerts für den Differenzenquotienten nicht bewiesen.

Verschiebe nun h am Schieberegler gegen 0 und beobachte, was mit m und M passiert!

Das kleine Rechteck besitzt (da h > 0) den Flächeninhalt m·h, das große M·h, und der gesuchte Flächeninhalt 
J_a(x_o+h) - J_a(x_o) liegt dazwischen: m·h ≦ J_a(x_o+h) - J_a(x_o) ≦ M·h 

Das kleine Rechteck besitzt (da h < 0) den Flächeninhalt m·(-h), das große M·(-h); der gesuchte Flächeninhalt ist jetzt aber 
J_a(x_o) - J_a(x_o+h) = -[ J_a(x_o+h) - J_a(x_o) ]; er liegt dazwischen: m·(-h) ≦ -[J_a(x_o+h) - J_a(x_o)] ≦ M·(-h) 

Um den oben genannten Differenzenquotienten zu erhalten, dividiert man alles durch 

-h \; : \;  \;  \;  \;  \;  m \; ≤   \;  \; \frac{ J_a(x_o\; +\; h) \;  -\;  J_a(x_o) }{h }\; \;≤  \;  \; M \;  \;  \;  \;  \;  \; ( \; -h \;  > \; 0 \; ! \; )

Der Beweis braucht schon deshalb die Stetigkeit von f, damit man die Existenz des Minimums m und des Maximums M 
überhaupt voraussetzen kann.
Dazu darf außerdem der untersuchte Bereich keine Definitionslücken enthalten.
Dagegen ist es unwesentlich, ob - wie hier im Beispiel - m bzw. M positiv oder negativ ist.

h \; : \;  \;  \;  \;  \;  m \; ≤  \;  \; \frac{ J_a(x_o\; +\; h) \;  -\;  J_a(x_o) }{ h }\; \;≤ \;  \; M \;  \;  \; \;  \;   \; ( \;  h \; > \; 0 \; ! \; )

(Regler hier ziehen!)

h = 2 (slider from -3 to 3, step 0.1)
f = Function(x / 5 + sqrt(x) - sin(x / 3) + cos(5 * x) / 3, 0, 10)
b = 4 (slider from 2.5 to 7, step 0.25)
U: (b, f(b) + 0.5)
L = If(h > 0, Sequence[f(i), i, b, b + h, 0.01], Sequence[f(i), i, b + h, b, 0.01])
ste = true
a_o = 1 (slider from 0 to 2.5, step 0.25)
a: x = a_o
M_o = If(ste, Max[L], Max[Max[L], y(U)])
x_o: x = b
m_o = Min(L)
rh: x = b + h
sm = Segment((0, m_o), (b + h, m_o))
sM = Segment((0, M_o), (b + h, M_o))
X1: (b, 0)
Xh: (b + h, 0)
Ym1: (b, m_o)
Ymh: (b + h, m_o)
poly1, x1, xh, Mini, ym1 = Polygon(X1, Xh, Ymh, Ym1)
YM1: (b, M_o)
YMh: (b + h, M_o)
poly2, x1_1, xh_1, Maxi, ysr = Polygon(X1, Xh, YMh, YM1)
I_a = Integral(f, a_o, b)
c: f(10)
U_o: (b, f(b))
Schritte = 0 (slider from 0 to 20, step 1)
T5: "=\; \;\frac{J_a(" + b + "\; +\; " + h + ")\; -\; J_a(" + b + ")}{" + h + "}"
T6_o: "Wähle einen Anfangswert für h (z.B. " + h + ")"
T7: "J_a( x_o + h ) ist die Fläche von a bis x_o+ h, also von " + a_o + " bis " + (b + h) + "."
T6: "(aktuell: h = " + h + " )"
h_. = Segment((b, 0), (b + h, 0))
Iah = Integral(f, a_o, b + h)
T8: "J_a( x_o ) ist die Fläche von a bis x_o, also von " + a_o + " bis " + b + "."
T9: "Also ist die Differenz J_a(x_o + h) - J_a(x_o) die Fläche unter der Funktionskurve zwischen x_o= " + b + " und x_o+h = " + (b + h) + " ."
Ixh = Integral(f, b, b + h)
T11: "Dazu wählt man das Rechteck, das bis zum minimalen Funktionswert m im Intervall [x_o, x_o+h] = [" + b + ", " + (b + h) + " ] reicht..."
m: (0, m_o)
M: (0, M_o)
y_o = If(ste, (0, f(b)), (0, y(U)))
sy0 = If(ste, Segment[y_o, (b, f(b))], Segment[y_o, U])
T25: "Also ist die Differenz J_a(x_o) - J_a(x_o+h) die Fläche unter der Funktionskurve zwischen x_o+h= " + (b + h) + " und x_o = " + b + " ."
T26: "Dazu wählt man das Rechteck, das bis zum minimalen Funktionswert m im Intervall [x_o+h, x_o] = [" + (b + h) + ", " + b + " ] reicht..."
Text1: "'Sprungstelle' x_0 = " * b